Rechenaufgabe ...

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Du kannst diese somit aber nicht den reellen Zahlen zuordnen und somit auch nicht mit ihnen rechnen.

Natürlich sind es nicht mehr die reelen Zahlen, denn in R ist die Division durch 0 *nicht* definiert/eindeutig/sinnvoll (warum habe ich in einem anderen Beitrag erläutert).

Eine Erweiterung des reellen Zahlenbereiches um diese beiden Symbole birgt in sich einfach nicht auflösbare Widersprüche, weil wie will man, sofern man einfach eine Zahl zur bestehenden zurechnet, die Unendlichkeit erreichen.

Man muss die Unendlichkeit auch gar nicht durch addieren von endlich vielen Zahlen erreichen können.

Aber ich glaube...

Wenn ich richtig liege, verläßt du aber die Grundaxiome von Peano, zumindest schwächst du Ihre Bedeutung ab. - aber ist auch egal und schon lange her bei mir -

...Dein Problem fängt damit an, dass Du immer Peanos Aximoe heranziehen willst. Sie haben mit der besprochenen Frage aber nicht viel zu tun, sie stellen nur eine axiomatische Definition der Menge der natürlichen Zahlen (N) bereit. Wir reden hier aber über eine Erweiterung von R. In N sind noch viele weitere Brüche undefiniert, z.B. 2/3, 3/4, 14/3, ...

Ich verstehe nicht, warum Du Dich gegen die Erweiterung von R zusammen mit der Definition, dass eine positive Zahl geteilt durch 0 gleich +Inf (+unendlich) sein soll so sperrst. Es ist erstmal einfach eine Abbildung, um der Division durch 0 ein Ergebnis zuzuordenen anstatt wegen "nicht definiert" eine Rechnung ohne Ergebnis abbrechen zu müssen. Natürlich schafft diese Vorgehensweise auch ein paar Probleme, von denen man wissen sollte, aber je nach Aufgabenstellung kann es auch günstiger als ein Abbruch der Rechnung sein.

Noch eine kleine Ergänzung:

Genaugenommen kennen Gleitkommazahlen neben +Inf und -Inf noch ein weiteres Symbol NaN, welches das Ergebnis einiger weiterer Rechenoperationen im erweiterten R ist. Nur der Vollständigkeit halber.