Habe meine (hoffentlich bald abgeschlossene) Ausbildung in HH im öffentlichen Dienst gemacht. Die schreiben sehr früh aus und für Ausbildungsstart 1.9.2020 war die Frist für die Einreichung der Bewerbungen IIRC ende September 2019, also ein Jahr vorher. Kann natürlich nur für meinen Arbeitgeber sprechen, aber da ist das üblich. Andere Dienststellen oder Ämter machen das wahrscheinlich ähnlich und daher findest du keine Ausschreibungen. Ansonsten schreiben sie meist auf ihren eigenen Karriereportalen aus und weniger bei Stepstone.
Kann es dir aber sehr empfehlen, zumindest an meiner Dienststelle bist du wirklich Lehrling, keine billige Arbeitskraft. Ich habe auch mit sehr wenig Vorwissen angefangen aber durch den Ausbilder und die Zeit, die ich u.a. auch während der Arbeitszeit zum lernen bekommen habe, konnte ich die Prüfungen wider erwarten mit 2-1-2 schreiben.
Aber denke da kann man wie in der Wirtschaft Glück oder Pech haben.
Wünsche dir jedenfalls viel Erfolg!