Einfache (?) Flächenberechnung

[Noxy]

Hi

Mich hat gestern jemand wegen einer Mathe Aufgabe gefragt und ich konnte ihm irgendwie nicht weiterhelfen, vielleicht hat ja hier jemand die Lösung:

Gegeben ist ein Quadrat mit gleichen Seitenlängen. Die 4 Eckpunkte des Quadrates sind der Mittelpunkt jeweils eines Kreises mit dem Radius der Seitenlangen des Quadrates. Berechnet werden soll die Schnittfläche aller 4 Kreise, die sich im Quadrat befindet. Ist wahrscheinlich total easy, aber ich hab grad keine Idee...

[Hellspawn304]

Mir fällt spontan nur flächenintegrale ein, mit denen man das bestimmen könnte. Is aber keine schulaufgabe oder?

[Noxy]

Angeblich 8. Klasse, aber ich hab die Aufgabe auch nur über 3 Ecken bekommen.

[Klotzkopp]

Man könnte das lösen, indem man die Fläche in 4 Dreiecke (jeweils die Ecken und der Mittelpunkt) und vier Kreisabschnitte unterteilt. Da kommt bei einem Kreisradius von 1 als Fläche 0,315146744 raus, das könnte hinkommen.

[imatt]

jepp

hast recht

ich die funktion der kurve genommen und integriert und dann zu der fläche (r^2) hinzugezählt, und dann die 4 teilkreise abogen

kommt auch 0,3151467436277 raus

[imatt]

@Klotzkopp

kannst du nochmal ein hinweis auf deine lösung geben

bin zu blöd das geometrisch zu lösen, naja wer braucht auch geometrie?

[Klotzkopp]

Ich gehe hier der Einfachheit halber von r = 1 aus.

Ich teile das Quadrat zunächst in vier kleinere Quadrate (grüne Linien).

Jetzt betrachte ich eine der vier Teilflächen der gesuchten Fläche, in diesem Fall die unten links.

Jede Teilfläche besteht aus einem (gleichseitigen rechtwinkligen) Dreieck und einem Kreisabschnitt.

Für die Dreiecksfläche braucht man die Länge AM. AM ist DC minus 1/2. ADC bilden ein rechtwinkliges Dreieck, die Hypotenuse (AD) entspricht dem Radius der Kreise. Da AC 1/2 ist, ist der Winkel in D 30°. DC ist damit cos(30°), AM also cos(30°) - 1/2.

Damit ist die Fläche des Dreiecks (cos(30°) - 1/2)^2 / 2.

Die Fläche eines Kreisabschnitts im Einheitskreis mit "Innenwinkel" a ist (a - sin(a)) / 2. a ist hier (siehe oben) 30°, sin(30°) ist 1/2. Das kommt also noch dazu.

Beides addiert, und mal 4 ergibt den genannten Wert.