Sei A die Wahrscheinlichkeit, gegen den Vater zu gewinnen. B sei die Wahrscheinlichkeit, gegen die Mutter zu gewinnen.
Voraussetzung: A<B
Angenommen: Erstes Spiel gegen den Vater.
Wahrscheinlichkeit, zu gewinnen: A (1)
Wahrscheinlichkeit, zu verlieren: 1-A (2)
zweites Spiel gegen die Mutter (nach (1) )
Wahrscheinlichkeit, zu gewinnen: A*B --> und damit drin
Wahrscheinlichkeit, nicht zu gewinenn: A*(1- --> und damit raus
zweites Spiel gegen die Mutter (nach (2) )
Wahrscheinlichkeit, zu gewinnen: (1-A)*B (3)
Wahrscheinlichkeit, zu verlieren: (1-A)*(1- --> und damit raus
drittes Spiel gegen den Vater (nach (3) )
Wahrscheinlichkeit, zu gewinnen: (1-A)*B*A --> und damit drin
Wahrscheinlichkeit, zu verlieren: (1-A)*B*(1-A) --> und damit raus
Gesamtwahrscheinlichkeit, zu gewinnen: A*B+(1-A)*B*A=AB+AB-A²B=2AB-A²B (*)
Gesamtwahrscheinlichkeit, zu verlieren: A*(1-+(1-A)*(1-+(1-A)*B*(1-A)=1-2AB+A²B
-----------------------------------------------
Annahme, zuerst gegen die Mutter:
Erstes Spiel gegen die Mutter:
Wahrscheinlichkeit, zu gewinnen: B (1)
Wahrscheinlichkeit, zu verlieren: 1-B (2)
Zweites Spiel gegen den Vater: (nach (1) )
Wahrscheinlichkeit, zu gewinnen: B*A --> und damit drin
Wahrscheinlichkeit, zu verlieren: B*(1-A) --> und damit raus
Zweites Spiel gegen den Vater (nach (2) )
Wahrscheinlichkeit, zu gewinnen: (1-*A (3)
Wahrscheinlichkeit, zu verlieren: (1-*(1-A) --> und damit raus
Drittes Spiel gegen die Mutter (nach (3) )
Wahrscheinlichkeit, zu gewinnen: (1-*A*B --> und damit drin
Wahrscheinlichkeit, zu verlieren: (1-*A*(1- --> und damit raus
Gesamtwahrscheinlichkeit, zu gewinnen: B*A+(1-*A*B=2AB-AB² (**)
Gesamtwahrscheinlichkeit, zu verlieren: B*(1-A)+(1-*(1-A)+(1-*A*(1-=
1-2AB+AB²
(*) & (**) ==> 2AB-A²B und 2AB-AB²
Voraussetzung: A<B
==> AB<B²
==> A²B<AB²
==> -A²B>-AB²
==> 2AB-A²B>2AB-AB²
==> Gesamtwahrscheinlichkeit, zu gewinnen, ist höher, wenn zuerst gegen den Vater gespielt wird.