Das fehlte.
Damit hast du dein Pflicht erfüllt und konntest die Stelle ohne Bedenken antreten.
Allerdings musst du es glaubhaft versichern können (Ich schätze nicht, dass du dir das hast schriftlich versichern lassen). Ob du allerdings Anspruch auf Schadensersatz bekommen kannst, ist immer noch fraglich, da du möglicherweise auf Weiterbeschäftigung klagen kannst. Aber wenigstens dürftest du keine Schwierigkeiten mit dem Arbeitsamt bekommen, da du ja - ganz simpel gesagt - eben aufgrund der Aussage des Betriebes davon ausgehen konntest, dass die dir angebotene Stelle als sicher gilt.
Ich würde dir in diesem Fall raten, deine Kündigung anzufechten.
@Menzember
Passt zwar nicht mehr ganz, poste ich aber trotzdem noch für dich :
Bei diesem Fall geht es darum, dass der Bewerber bereits vor Antritt der Stelle in dem Unternehmen beschäftigt war und nach eigenen Angaben nicht weiterbeschäftigt werden konnte. Hier sind die Gründe dafür entscheidend. Das Unternehmen wird dem Arbeitsamt in einer Bescheinung diese Gründe darlegen müssen. Stellt sich dabei heraus, dass finanzielle Schwierigkeiten der Grund dafür waren, wird geprüft werden, ob der Arbeitnehmer dies hätte wissen können oder müssen, als er auf das spätere Angebot der Firma eingegangen ist, und was er unternommen hat, um diese Zweifel auszuräumen. Außerdem wird geprüft, unter welchen Umständen die Beschäftigung zustande gekommen ist (Angebot der Firma, Bewerbung, Stellenanzeige, Abwerbung, etc.).
Bei Jobangeboten, die ausgeschrieben und unbefristet sind, braucht der Bewerber selbstverständlich nichts prüfen. Er darf hier davon ausgehen, dass das Angebot in der Form auch besteht, bzw. der Betrieb eine solche Stelle zu besetzen hat und sich auch leisten kann. Wenn er dann wider Erwarten binnen kürzester Zeit entlassen wird, spielt es eine Rolle, ob betriebsbedingt oder im Rahmen der Probezeit. Der erste Fall ist klar, dafür kann der Arbeitnehmer nichts. Im zweiten Fall wird überprüft, ob den Arbeitnehmer eine Mitschuld trifft. Gegenüber dem Arbeitsamt ist der Betrieb nämlich sehr wohl verpflichtet, eine Kündigung zu begründen, auch eine probezeitbedingte, da das Verhalten des Arbeitnehmers eine wichtige Rolle für die Verhängung einer Sperrzeit spielt, denn ein Arbeitnehmer hat - wenn er grundsätzlich Leistungen vom Arbeitsamt beziehen möchte oder kann - auch grundsätzlich sicher zu stellen, dass er selbstverschuldete Arbeitslosigkeit vermeidet. Dazu gehört u.a. auch, dass wenn Zweifel in irgendeiner Art und Weise an einem Stellenangebot bestehen, diese im Vorfeld möglichst auszuräumen. In diesem Fall gibt es begründete Zweifel, weil eine Weiterschäftigung seitens des Betriebes im Vorfeld zunächst verneint worden ist.