Raetsel mal wieder

[gajUli]

Hallo zusammen,

mal wieder Raetselzeit. Hier ist ein ganz besonders feines und ich hoffe, es war noch nicht da.

Eine junge Tochter moechte in den Schachclub ihrer Eltern aufgenommen werden. Die Eltern sind sich aber nicht sicht, ob sie schon die noetige Spielreife besitzt, und so spricht der Vereinsvorsitzende:

"Du wirst aufgenommen, wenn du von drei Spielen abwechselnd gegen Mutter und Vater zwei in Folge gewinnst. Du bestimmst, gegen wen du zuerst spielen moechtest. Bedenke dabei, dein Vater spielt besser als deine Mutter. "

Wann sind ihre Chancen besser, wenn sie zuerst gegen den Vater antritt oder zuerst gegen die Mutter?

[Der Kleine]

Insgesamt 3 Spiele?

Dann tip ich mal auf PAPA. (Begründung später)

[Bako]

Sollte egal sein, weil, wenn die Tochter zwei aufeinanderfolgende Spiele gewinnen muss, immer einmal gegen Mutter und einmal gegen Vater spielt, egal wie rum man es dreht. :confused:

[Guybrush Threepwood]

Original geschrieben von Bako

Sollte egal sein, weil, wenn die Tochter zwei aufeinanderfolgende Spiele gewinnen muss, immer einmal gegen Mutter und einmal gegen Vater spielt, egal wie rum man es dreht. :confused:

Würde ich auch sagen, weil sie auf jeden Fall ein Spiel gegen ihre Mutter und eins gegen ihren Vater spielen muss.

[Darth_Zeus]

Ich sag Papa zuerst.

Begründung:

Gegen die Mama, die sie wahrscheinlich schlägt, gewinnt sie auf jeden Fall. Deshalb ist sie in der Mitte. Voraussetzung ist, zwei Spiele hintereinander zu gewinnen. So hat sie zweimal die Chance, den Papa zu schlagen. Verliert sie einmal in der Mitte gegen den Herrn Papa, ist es gleich vorbei, weil nicht mehr zwei Spiel in Folge gewonnen werden können.

Ich hoffe, das klingt logisch.

D_Z

[Der Kleine]

Original geschrieben von Darth_Zeus

Ich sag Papa zuerst.

Begründung:

Gegen die Mama, die sie wahrscheinlich schlägt, gewinnt sie auf jeden Fall. Deshalb ist sie in der Mitte. Voraussetzung ist, zwei Spiele hintereinander zu gewinnen. So hat sie zweimal die Chance, den Papa zu schlagen. Verliert sie einmal in der Mitte gegen den Herrn Papa, ist es gleich vorbei, weil nicht mehr zwei Spiel in Folge gewonnen werden können.

Ich hoffe, das klingt logisch.

D_Z

Das waren auch meine Überlegungen:

Angenohmen Mama hat Chance 1/3 zu gewinnen. Papa hat Chance 2/3 zu gewinnen.

Dann Mama 1. und 3.Spiel :

Wahrscheinlichkeit des Gewinnens :

Gegen Mama Spiel 1 oder Spiel 3 : WK = 1-1/3*1/3 = 8/9

Gegen Papa : 1/3

Zusammen ein "und", da beide zu gewinnen sind, also : 8/9*1/3=8/27

Jetzt Papa/Mama/ PAPA:

gegen Papa : erstes oder drittes Spiel : WK = 1-2/3*2/3=5/9

gegen Mama : 2/3

Gegen beide : 2/3 * 5/9 =10/27

Also Papa fängt an.

[Jaraz]

Korrektur, ich glaube das ist unterschiedlich und hängt davon ab wie viel Papa stärker ist.

Gruß Jaraz

[Jaraz]

Ne, Zahlendreher!

Papa sollte anfangen, das mittlere Spiel ist zu wichtig, da wenn das verloren wird auf alle Fälle schluss ist und somit dieses Spiel gegen den schwächeren ausgetragen werden sollte.

Gruß Jaraz

[Der Kleine]

Na dann nochmal allgemein:

0<=x<=y<=1, wobei man mit wk x gegen Papa gewinnt, mit wk y gegen Mama gewinnt.

Kombination : MPM.

gegen M:

G(ewinnen) oder G,

gleich 1 - (V(erlieren) und V),

gleich 1-((1-G) und (1-G))

gleich 1-((1-x)*(1-x))

gleich 1-(1-x*x)

gleich x*x

gegen P: y

beides muss eintreffen : WK : x*x*y

analog PMP:

WK = x*y*y

da laut Voraussetzung: x<=y

folgt : x*x*y<=x*y*y

und folglich immer Papa wählen.

[gajUli]

Kurz-naechtliches Zwischenstatement

- ja, es haengt *irgendwie* mit der Wichtigkeit des Mittelspiels zusammen

- nein, die Ungleichung x*x*y<=x*y*y trifft es nicht korrekt

- zwei Gewinnsituationen sind jeweils zu vergleichen: Spiel 1 - Spiel 2 und Spiel 2 - Spiel 3, wobei die zweite Situation nicht mit der gleichen Wahrscheinlichkeit auftritt, weil sie ueberfluessig wird, wenn das Mittelspiel verloren geht UND wenn die Spiele 1 und 2 bereits gewonnen sind!

Wer eine wasserdichte, nachvollziehbare Loesung findet, hat gute Chancen, auf www.caesborn.de/denksport/index.html verewigt zu werden. BTW, wer noch andere aussergewoehnliche Raetsel kennt, nur her damit. ;-)

[Klotzkopp]

Ich versuch's mal:

x sei die Wahrscheinlichkeit, das erste bzw. dritte Spiel zu gewinnen, y die Wahrscheinlichkeit, das mittlere Spiel zu gewinnen

Es gibt acht Fälle:

1.  x   y   x   --> gewonnen

2.  x   y  ~x   --> gewonnen

3.  x  ~y   x   --> verloren

4.  x  ~y  ~x   --> verloren

5. ~x   y   x   --> gewonnen

6. ~x   y  ~x   --> verloren

7. ~x  ~y   x   --> verloren

8. ~x  ~y  ~x   --> verloren

[/CODE]
 

Die Fälle 1 und 2 kann man zusammenfassen; zusammen macht das:



[CODE]

  x * y           | Fälle 1 und 2

+ (1-x) * y * x   | Fall 5

= x * y * (1 + 1-x)

= x * y * (2-x)

Wenn man jetzt zeigt, wann dieser Wert größer ist als der für den umgekehrten Fall (x und y vertauscht):

    xy * (2-x) > yx * (2-y)  | Für x > 0 und y > 0, sonst hat man sowieso keine Chance...

<=> 2-x > 2-y

<=> x < y

[/code]

ergibt sich, dass es besser ist, wenn man die höhere Wahrscheinlichkeit auf das mittlere Spiel legt. Hoffe ich... ;-)

[Der Kleine]

Original geschrieben von gajUli

- nein, die Ungleichung x*x*y<=x*y*y trifft es nicht korrekt

Einspruch Euer Ehren:

Die Frage ist die Brechnung der WK des Gewinnens unter der Sache (Entweder Spiel1 oder Spiel3) und Spiel2, für beide Fälle (also Mama beginnt oder Papa beginnt).

Und jetzt :

(A \/ C) /\ B

Äquivalent zu : ((1-(~A)/\(~C))/\B

entspricht für die WK (a, b, a): ((1-(1-a)*(1-a))*b

oder kurz a*a*b

Entsprechend eingesetz komme ich auf die von mir genannte Beziehung.

IMO: Mathematisch ganz sauber :D .

Glossar:

/\ - und

\/ - oder

* - Multiplikationszeichen

~ - Negation (nicht)

[Klotzkopp]

Einspruch zum Einspruch

Original geschrieben von Der Kleine

((1-(1-a)*(1-a))*b

oder kurz a*a*b

Den Schritt kann ich nicht recht nachvollziehen. :confused:

(1-a)*(1-a) ist nicht 1 - a^2.

[Der Kleine]

Original geschrieben von Klotzkopp

Einspruch zum Einspruch

Den Schritt kann ich nicht recht nachvollziehen. :confused:

(1-a)*(1-a) ist nicht 1 - a^2.

Stimmt.

*kleine, dumm, zeitraubende, schon lange herseiende Flüchtigkeitsfehler :D *

Na dann nochmal allgemein:

0<=x<=y<=1, wobei man mit wk x gegen Papa gewinnt, mit wk y gegen Mama gewinnt.

Also :

((1-(1-a)*(1-a))*b

äquivalent zu : ((1-(1-2*a+a*a))*b

äquivalent zu : (2*a-a*a)*b

äquivalent zu : (2-a)*a*b

Mama beginnt ( y entspricht a)

somit WK: (2-y)*x*y

Papa beginnt (x entspricht a)

somit WK: (2-x)*x*y

und somit WK im zweiten Fall größer gleich, da x<=y.

*Aber bitte jetzt korrekt - ich heul sonst!*

[Tachyoon]

Da ich kein Mathematiker bin, meine Lösung in rein logischer und sprachlicher Form:

Zwei Reihenfolgen der 3 Spiele sind möglich:

PMP und MPM

Egal ist, wie viele Punkte insgesamt erreicht werden. Wichtig ist der Fakt, dass es zwei hintereinander sein müssen. Also nur die Reihenfolgen MP und PM sind überhaupt möglich.

Bis hierhin dürfte mir jeder zustimmen, oder?

Die Chance auf Sieg gegen sei z.B. 50% und P sei 40%

Reihenfolge 1: MP = 50% + 40%

Reihenfolge 2: PM = 40% + 50%

Das dritte Spiel ist egal, da beide Reihenfolgen zum Zuge kommen. Weder P noch M sind leichter oder schwerer zu besigen, nur weil sie in der Mitte oder am Rande der Gesamtreihe spielen. Damit ist das "Überschneidungsspiel" der beiden Reihenfolgen nur als Teil der jeweiligen Reihenfolge zu sehen. Das letzte Spiel der 1. Reihenfolge ist zugleich das erste Spiel der 2. Reihenfolge - oder umgekehrt. Es ist auch egal, wie hoch die Erfolgschance jede der beiden Reihenfolgen gegenüber der anderen ist: Es kommen sowieso beide zum Zuge. Allenfalls einen psychologischen Aspekt könnte man zugrunde legen.

Daher ist es nach meinen Überlegungen egal, gegen wen sie nun zuerst antritt.

Randüberlegung:

Das Spiel in der Mitte zu gewinnen nutzt nicht, wenn man die Spiele am Rande verliert. Und mit Wahrscheinlichkeiten (Szenario-Technik) kommt man auch nicht weiter, da das 1. Spiel nicht entscheidend sein muss. Ebensowenig das 3. Spiel. Dennoch aber muss eines von beiden gewonnen werden.

[HELLmut]

das isz imho nicht richtig.

1 entspricht sieg tochter

0 niederlage

egal gegen wen sie zuerst antritt ergeben sich ingesammt 8 möglichkeiten wie es ausgeht:

000 //Keines gewonnen

001

010

011

100

101

110

111 //Alle gewonnen

Folgende Kombinationen verhelfen der Tochter in den Club

011

110

111

Soweit nichts besonderes nur um das nochmal festzuhalten

also entweder:

M = Mutter

V = Vater

Reihenfolge MVM:

011 und 110 sind gleichschwer von Psychologsichen Aspekten mal abgesehen

111 is schwerer weil sie drei mal gewinnen muss, aber nur einmal gegen Vater

Reihenfolge VMV

011 und 110 sind gleichschwer von Psychologsichen Aspekten mal abgesehen

111 ist viel schwerer, weil sie zweimal gegen den Vater gewinnen muss

Also ist es eindeutig besser wenn sie gegen die Mutter anfängt. ganz easy

[-roTekuGeL-]

Original geschrieben von HELLmut

Also ist es eindeutig besser wenn sie gegen die Mutter anfängt. ganz easy

Also ich würde eher das gegenteil behaupten, denn wenn sie 2 mal die Chance hat gegen den Vater zu spielen sind auch die Chancen höher gegen ihn zu gewinnen...

[BaybeeK]

Original geschrieben von |roTekuGeL|

Also ich würde eher das gegenteil behaupten, denn wenn sie 2 mal die Chance hat gegen den Vater zu spielen sind auch die Chancen höher gegen ihn zu gewinnen...

Aber da die Mutter schwächer ist, hat sie noch höhere Chancen zu gewinnen..

[HELLmut]

ok nehme alles zurück! zuerst gegen den vater...

Ausgeschrieben:

Folgende Fälle Gewinnen

Mutter-Vater-Mutter Vater-Mutter-Vater

0 1 1 0 1 1

1 1 0 1 1 0

1 1 1 1 1 1

Sagen wir Sieg gehen Vater WK A Sieg gegen Mutter WK B

(1- * A * B (1-A) * B * A

B * A * (1- A * B * (1-A)

B * A * B A * B * A

(1-*A*B + B*A*(1- + B*A*B anlog zu links

AB( (1- + (1- +

AB(2 -2B +

AB(2 - AB(2-A)

AB(2-A) > AB(2-, weil B>A ==> Besser wenn Vater zuerst spielt (rechte Seite)

[HELLmut]

Blöde Formatierung!

Ich probiers nochmal:

Mutter-Vater-Mutter___________________Vater-Mutter-Vater

0 1 1__________________________________0 1 1

1 1 0__________________________________1 1 0

1 1 1__________________________________1 1 1

Sagen wir Sieg gehen Vater WK A Sieg gegen Mutter WK B

(1- * A * B__________________________________(1-A) * B * A

B * A * (1-__________________________________A * B * (1-A)

B * A * B_____________________________________A * B * A

Addiert:

(1-*A*B + B*A*(1- + B*A*B_______________________anlog zu links

AB( (1- + (1- +

AB(2 -2B +

AB(2 - __________________________________________AB(2-A)

AB(2-A) > AB(2-, weil B>A ==> Besser wenn Vater zuerst spielt (rechte Seite)

[Tachyoon]

Ich muss zugeben, dass ich das ganze Gerechne so nicht nachvollziehen kann. Aus deinen Ausführungen lese ich jedoch, das du die Möglichkeit der 3 Siege hintereinander mitberechnest.

Und genau da setzt meine Argumentation an: Es geht bei dieser Aufgabe nicht darum, 3 Siege zu erzielen. 2 Siege reichen.

[beebof]

Sei A die Wahrscheinlichkeit, gegen den Vater zu gewinnen. B sei die Wahrscheinlichkeit, gegen die Mutter zu gewinnen.

Voraussetzung: A<B

Angenommen: Erstes Spiel gegen den Vater.

Wahrscheinlichkeit, zu gewinnen: A (1)

Wahrscheinlichkeit, zu verlieren: 1-A (2)

zweites Spiel gegen die Mutter (nach (1) )

Wahrscheinlichkeit, zu gewinnen: A*B --> und damit drin

Wahrscheinlichkeit, nicht zu gewinenn: A*(1- --> und damit raus

zweites Spiel gegen die Mutter (nach (2) )

Wahrscheinlichkeit, zu gewinnen: (1-A)*B (3)

Wahrscheinlichkeit, zu verlieren: (1-A)*(1- --> und damit raus

drittes Spiel gegen den Vater (nach (3) )

Wahrscheinlichkeit, zu gewinnen: (1-A)*B*A --> und damit drin

Wahrscheinlichkeit, zu verlieren: (1-A)*B*(1-A) --> und damit raus

Gesamtwahrscheinlichkeit, zu gewinnen: A*B+(1-A)*B*A=AB+AB-A²B=2AB-A²B (*)

Gesamtwahrscheinlichkeit, zu verlieren: A*(1-+(1-A)*(1-+(1-A)*B*(1-A)=1-2AB+A²B

-----------------------------------------------

Annahme, zuerst gegen die Mutter:

Erstes Spiel gegen die Mutter:

Wahrscheinlichkeit, zu gewinnen: B (1)

Wahrscheinlichkeit, zu verlieren: 1-B (2)

Zweites Spiel gegen den Vater: (nach (1) )

Wahrscheinlichkeit, zu gewinnen: B*A --> und damit drin

Wahrscheinlichkeit, zu verlieren: B*(1-A) --> und damit raus

Zweites Spiel gegen den Vater (nach (2) )

Wahrscheinlichkeit, zu gewinnen: (1-*A (3)

Wahrscheinlichkeit, zu verlieren: (1-*(1-A) --> und damit raus

Drittes Spiel gegen die Mutter (nach (3) )

Wahrscheinlichkeit, zu gewinnen: (1-*A*B --> und damit drin

Wahrscheinlichkeit, zu verlieren: (1-*A*(1- --> und damit raus

Gesamtwahrscheinlichkeit, zu gewinnen: B*A+(1-*A*B=2AB-AB² (**)

Gesamtwahrscheinlichkeit, zu verlieren: B*(1-A)+(1-*(1-A)+(1-*A*(1-=

1-2AB+AB²

(*) & (**) ==> 2AB-A²B und 2AB-AB²

Voraussetzung: A<B

==> AB<B²

==> A²B<AB²

==> -A²B>-AB²

==> 2AB-A²B>2AB-AB²

==> Gesamtwahrscheinlichkeit, zu gewinnen, ist höher, wenn zuerst gegen den Vater gespielt wird.

[Der Kleine]

Original geschrieben von HELLmut

AB(2-A) > AB(2-, weil B>A ==> Besser wenn Vater zuerst spielt (rechte Seite)

Original geschrieben von beebof

==> 2AB-A²B>2AB-AB²

Das sind zwi identische Aussagen, die eigentlich auch noch mit meiner Ausage

Original geschrieben von Der Kleine

Mama beginnt ( y entspricht a)

somit WK: (2-y)*x*y

Papa beginnt (x entspricht a)

somit WK: (2-x)*x*y

und somit WK im zweiten Fall größer gleich, da x<=y.

*Aber bitte jetzt korrekt - ich heul sonst!*

übereinstimmen.

*Noch heul ich nicht*

[Goos]

Original geschrieben von HELLmut

AB(2-A) > AB(2-, weil B>A ==> Besser wenn Vater zuerst spielt (rechte Seite)

Fein

Wenn nun aber ein verlorenes erstes Spiel gegen den Vater psychologisch bedingt die Gewinnwahrscheinlichkeit gegen die Mutter senkt und diese dann geringer wird als die Wahrscheinlichkeit, gegen den Vater zu gewinnen und im Gegenzug ein Sieg im ersten Spiel gegen die Mutter die Wahrscheinlichkeit eines Sieges gegen den Vater steigert???

Daraus folgert man dann wohl, dass Menschen nicht berechenbar sind.

Goos

[Der Kleine]

Original geschrieben von Goos

Fein

Wenn nun aber ein verlorenes erstes Spiel gegen den Vater psychologisch bedingt die Gewinnwahrscheinlichkeit gegen die Mutter senkt und diese dann geringer wird als die Wahrscheinlichkeit, gegen den Vater zu gewinnen und im Gegenzug ein Sieg im ersten Spiel gegen die Mutter die Wahrscheinlichkeit eines Sieges gegen den Vater steigert???

Daraus folgert man dann wohl, dass Menschen nicht berechenbar sind.

Goos

Bedingte Wahrscheinlichkeiten (also die WK für PMP, wenn erstes Spiel verloren) waren nicht gefragt.

Desweiteren kann eine Niederlage auch einen Motivationsschub bewirken, so daß dann .... .