Was durchaus eine gängige Methode ist! Testprotokolle werden meist in Form von Excel eingetragen. Natürlich gibt es auch Testmanagementsoftware wie zum Beispiel den TFS, welcher das Testing in vielen Formen vereinfach. Wenn deine neue Stelle mit C# programmiert, könnte es gut sein, dass der Betrieb auch einen Team Foundation Server zu Entwicklungszwecken nutzt. Dort werden dann Testfälle und Testprotokolle direkt im TFS eingetragen.
Diese Form des Testens, welche du beschrieben hast, geschieht dann aber meist auf Systemebene oder beim Abnahmetest. Das Unit Testing gilt als Entwicklertest und wird auch Komponententest genannt. Dies ist erstmal unabhängig von der Systemtestebene, in der ein Testprotokoll genutzt wird. Übrigens lohnt es sich hier auch genauer zu differenzieren. Einmal gibt es Testfälle und dann gibt es Testprotokolle. Die Testfälle definieren den SOLL-Zustand, Vorbedingungen, sowie die durchzuführenden Schritte. Im Testprotokoll werden die Testfälle durchgeführt und dann mit einem Ergebnis versehen.
Bevor du mit dem TDD anfängst, würde ich erstmal versuchen das Unit Testing an sich zu verstehen. Dazu hilft es sich als aller Erstes das hier anzuschauen https://docs.microsoft.com/de-de/dotnet/core/testing/unit-testing-with-nunit
Danach kannst du anfangen, deine Programme mit sinnvollen Unit Tests zu versorgen. Wenn du das Konzept und den Sinn von Unit Tests verstanden hast, könntest du dann mit kleineren Programme das Test Driven Development anfangen. Aber nicht verzweifeln - viele erfahrene Entwickler haben auch noch Probleme mit dem Test Driven Development, da es erstmal eine Umstellung beim Denken erfordert.
Die Lektüre von alergermi kann ich dir auch empfehlen.
Falls du noch weitere Fragen dazu hast, kannst du dich gerne bei mir melden.