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Fachinformatiker - Blog

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Mitwirkende

zahlensystem Zahlensysteme (Dec, Bin, Hex u. Oct)

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Hello world, 

da es unser erstes Thema in der Umschulung war, befassen wir uns heute, mit den Zahlensystemen, die in der IT Welt ihr Zuhause haben. 

Als kleine Themenzusammenstellung gehen wir heute auf das

  • Duale Zahlensystem (Binär) 
  • Hexa Dezimalsystem
  • Oktadezimal System

Sowie auf die Umrechnung von

  • Dezimal zu Binär und zurück 
  • Dezimal zu Hex und zurück 
  • Dezimal zu Okta und zurück 
  • So wie Hex zu Okta und Binär und das auch wieder zurück ein

Du wirst danach, mit jedem Zahlensystem, mit einer Leichtigkeit rum hantieren können. Ich verrate dir, wie man mit einfachen Tricks, von einem zum anderen System umrechnen und welche Zahlen du dir in der IT Welt merken solltest, weil du ständig damit konfrontiert wirst.

Das Dezimal System ist das was uns von klein auf beigebracht wurde, von Null bis 9, da man die Zahlen beliebig aneinander stellen kann, sind der unendlichen Zahl keine Grenzen gesetzt. Es ist das 10er Zahlen System. Für den Menschen ist dieses System naheliegend (10 Finger, 10 Zehen). 

  1. Es gibt 10 Ziffern von 0 bis 9
  2. Der größte Wert der dargestellt wird ist die 9
  3. Stellenwerte
  • Der Wert der 1. Stelle beträgt 100 = 1, es ist die "Einer" - Stelle
  • Der Wert der 2. Stelle beträgt 101 = 10, es ist die "Zehner" - Stelle
  • Der Wert der 3. Stelle beträgt 102 = 100, es ist die "Hunderter" - Stelle
  • Der Wert der 4. Stelle beträgt 103 = 1000, es ist die "Tausender" - Stelle
  • usw. 

Dadurch ergibt sich die Interpretation der Zahl 123 in einem Beispiel so. 

123 = 3*100 + 2*101 + 1*102

Macht unterm Strich 

123 = 3 + 20 + 100

 

Kommen wir zum ersten uns fremden System, dem Dualen Zahlensystem. Dual weil es nur zwei Möglichkeiten der Darstellung gibt. Es ist das Zweier System. Die 1 und die 0. Deshalb wird es in der IT und Mathematik Binär (bi = zwei) genannt. Das Binäre System ist das wohl wichtigste Zahlen System in der Welt der Computer, da es die einzige Sprache ist die dein Prozessor versteht. Das ist die so genannte Maschinensprache.

Aber genug drum rum geredet, kommen wir zum ersten umrechnen. 

Für Zahlen des Binär Systems gilt 

  1. Es gibt 2 Ziffern, die 0 und die 1
  2. Der größte Wert den man darstellen kann ist die 1
  3. Stellenwerte
  • Der Wert der 1. Stelle beträgt 20 = 1
  • Der Wert der 2. Stelle beträgt 21 = 2
  • Der Wert der 3. Stelle beträgt 22 = 4
  • Der Wert der 4. Stelle beträgt 23 = 8
  • usw.

Üblich für die Kennzeichnung einer Zahl eines Systems, hinter der Zahl, eine kleine Zahl oder einen Buchstaben dran zu hängen 

  • 2 oder b für das Binär System, zum Beispiel 1012 oder 100b
  • 8 oder o für das Oktal System, zum Beispiel 458 oder 45o
  • 16 oder h für das Hexadezimal System, zum Beispiel 2616 oder 26h
  • 10 oder d für das Dezimal System, zum Beispiel 9910 oder 99d

Interpretations Beispiel einer Binär Zahl 

11012 = 1*1 + 0*2 + 1*4 + 1*8

Macht unterm Strich 

11012 = 1 + 4 + 8

Das ergibt dann 13 in Dezimal oder 1310

 

Das 16er System ist das Hexadezimal System. Da uns bis jetzt nur Ziffern zur Verfügung standen werden wir das nach dem Binären System das meist häufigste Zahlen System der IT Welt besprechen. Dazu kommen zu den normalen 10 Ziffern 0 bis 9 noch die Buchstaben a bis f hinzu. Früher wurden die Buchstaben groß geschrieben, was aber jetzt falsch ist. Deshalb zeige ich dir sofort die richtige Schreibweise also mit kleinen Buchstaben. 

Für das Hexadezimal System gilt folgendes

  1. Es gibt 16 Ziffern, 0 bis 9 und a bis f (a=10, b=11, c=12, d=13, e=14, f=15)
  2. Der größte Wert den man darstellen kann ist der Wert 15
  3. Stellenwerte
  • Der Wert der 1. Stelle beträgt 160 = 1
  • Der Wert der 2. Stelle beträgt 161 = 16
  • Der Wert der 3. Stelle beträgt 162 = 256
  • Der Wert der 4. Stelle beträgt 163 = 4096
  • usw.

Als kleines Beispiel rechnen wir

c2h = 2*1 + 2*16

Macht unterm Strich 

2 + 192

Das ergibt einen Dezimal Wert von 194

 

Jetzt fragt sich bestimmt so ziemlich jeder, "wozu erfindet man sowas blödsinniges wie das Hexadezimal System?". Die Antwort ist ganz einfach. Der Einfachheit halber um die Zahlen kürzer darstellen zu können. Als Beispiel, was ist in der Darstellung kürzer? 

43727 Dezimal,

1010 1010 1100 1111 Binär oder

aa cf Hexadezimal? 

Natürlich das Hexa. Und da es größere Zahlen gibt wie 43727 denken wir mal an 1012 als Beispiel (ergibt 1 000 000 000 000) und da jede Stelle an Ziffern quasi Ressourcen bedeutet. Man aber  Ressourcen und Zeit niemals genug hat, wurde ein System entwickelt, welches noch einfach zu rechnen und trotzdem kompakter darzustellen ist. 

Wer sich jetzt fragt warum dann das Binär? Nun es muss halt auch ein System geben welches von Maschinen gesprochen werden kann. Da man durch Strom einer Maschine sagen kann Strom an ist 1 und Strom aus ist 0, ist das die einfachste Lösung um mit wenig Aufwand komplexe Zahlen Rechnungen und Aufgaben einer Maschine bei zu bringen. 

 

Nun das letzte Zahlensystem, das Oktale Zahlensystem. Es ist das 8er Zahlensystem (Oktopus 8 Arme). Die Zahlen 0 bis 7 werden hierbei nur benutzt. Es ist in der IT Welt nicht so oft vertreten, kommt aber hin und wieder mal vor das man es kennen sollte.

Für das Oktalsystem gilt folgendes

  1. Es gibt 8 Ziffern, 0 bis 7
  2. Der größte Wert den man darstellen kann ist der Wert 7
  3. Stellenwerte
  • Der Wert der 1. Stelle beträgt 80 = 1
  • Der Wert der 2. Stelle beträgt 81 = 8
  • Der Wert der 3. Stelle beträgt 82 = 64
  • Der Wert der 4. Stelle beträgt 83 = 512
  • usw.

Als Beispiel berechnen wir

23o = 3*1 + 2*8

macht unterm Strich

23 = 3 + 16

Ergibt 23o = 19d  

Jetzt haben wir ein Beispiel, an dem der Oktal Wert größer erscheint als der Dezimal Wert, aber das ist auch normal. Das Dezimal System rechnet mit 10 Ziffern, das Oktale nur mit 8. Da man nur im Dezimalsystem "dreiundzwanzig" ausspricht und im Oktalen "zwei drei" ist es extrem wichtig, die anderen Zahlensysteme niemals dezimal aussprechen. Sondern immer Ziffer für Ziffer benennen.

 

So nun können wir beginnen, die verschiedenen Zahlensysteme umzurechnen. Wir fangen mit vier Tabellen an, damit wir leichter umrechnen können, solltest du dir diese Werte unbedingt merken, das erleichtert ungemein die Umrechnung der Zahlensysteme.

 

Dezimal 108 107 106 105 104 103 102 101 100
Dezimal 100.000.000 10.000.000 1.000.000 100.000 10.000 1.000 100 10 1

 

Binär 28 27 26 25 24 23 22 21 20
Binär 256 128 64 32 16 8 4 2 1

 

Hexadezimal 168 167 166 165 164 163 162 161 160
Hexadezimal 4.294.967.296 268.435.456 16.777.216 1.048.576 65.536 4.096 256 16 1

 

Oktal 88 87 86 85 84 83 82 81 80
Oktal 16.777.216 2.097.152 262.144 32.768 4.096 512 64 8 1

 

Du musst dir nicht alles davon merken, aber so bis 4096 in jedem System, solltest du schon im Kopf haben. Diese Zahlen kommen immer wieder in der IT-Welt vor und wer es am Anfang schon kennt, hat später weniger Probleme sich die Zahlen zu merken. Als Beispiel 210 ergibt 1024, 1 MiB (Mebibyte) hat 1024 KiB (Kibibyte). Du siehst also das sind ganz normale IT zahlen, die dir in deiner Laufbahn ständig über den Weg laufen werden.

Dann fangen wir mal an mit dem umrechnen.

Dezimal zu Binär

105d wollen wir in Binär umwandeln, zunächst guckst du in die liste bei Binär wie oft die 105 in die 256 passt, 0 mal. Da die ersten nullen nicht aufgeschrieben werden, weil die Tabelle noch kilometerweit weiter nach Links geht, guckst du das du die nächstmögliche Zahl raussuchst, in dem Fall 105 wäre es die 64 (da es in 128 ja auch eine 0 ergeben würde). Du schreibst also die erste 1 und rechnest den Rest aus. 105 - 64 = 41, du schreibst am besten in eine Tabelle 1 Rest 41, dann rechnest du mit der 41 weiter, wie oft passt die 41 in die 32? genau auch ein mal, also schreibst du wieder eine und hast als Zwischenwert jetzt 11 und den Rest, das wäre bei 41 - 32 = 9. Wir merken uns 11 Rest 9. Da die 9 unsere Zahl ist mit der wir weiter rechnen guckst du wie oft die 9 in die 16 passt, 0 mal. Also schreibst du 110 Rest auf. Rest ist wieder 9 und du gehst zu der 8 hin, wie oft passt die 9 in die 8? genau 1 mal, 9 - 8 = 1. Jetzt schreiben wir wieder in der Tabelle weiter 1101 Rest 1. Das Spielchen geht jetzt so weiter, wie oft passt die 1 in die 4? 0 mal, also 11010 Rest 1, wie oft in die 2? 0 mal, also 110100 Rest 1, wie oft in die 1? ein mal also schreibst du 1101001 auf. Da die Tabelle zum ende angekommen ist, hast du deinen ersten Binären Wert schon mit einer Leichtigkeit herausbekommen, 105 in Binär ist 1101001.

War das jetzt schwer? Ich glaube kaum. Wenn du noch etwas üben möchtest dann such dir einfach mehr Zahlen aus und wenn ich sie überprüfen soll, schreib sie in die Kommentare. Als Alternative kannst du dir auch auf dem Smartphone einen IT Taschenrechner runterladen. Unter Android kann ich dir die App Six Teen Free empfehlen. Nein das ist keine Werbung, denn ich bekomme kein Geld von den Machern der App, leider … Auf jeden Fall hast du da die Möglichkeit Dezimal, Hex, Bin und Oktal werte einzugeben und er zeigt dir sofort die restlichen Werte an, am Anfang hab ich es mir schwer getan, weil ich nicht wusste, dass man auf den blauen Balken in jeder Zeile anklicken kann, in der man die Werte eingeben möchte. Nachdem man das weiß ist dieser Rechner einfach nur Super. Einfach, klein und ohne viel Schnickschnack.

Es wäre gut wenn du dann erst ein Paar Zahlen in Binär umrechnest, damit du dich mit der Tabelle vertraut machst und damit du das System beherrschst.

 

Binär zu Dezimal

Die Umrechnung ist genauso Simple. Wir rechnen mal die Zahl 1001 0011 in Dezimal um. Hier nimmst du am besten auch sofort die Tabelle zur Hand

Binär 28 27 26 25 24 23 22 21 20
Binär 256 128 64 32 16 8 4 2 1

machst dir unten noch zwei Zeilen hinzu damit du das hier hast

Binär 28 27 26 25 24 23 22 21 20
Binär 256 128 64 32 16 8 4 2 1
Binär 0 1 0 0 1 0 0 1 1
                   

In die vierte Zeile kannst du dann deine Zwischenrechnung reinschreiben. Dann legen wir los...

Jetzt guckst du einfach wo überall die 1 ist, diese zahlen musst du einfach nur zusammen zählen, dann hast du die Dezimal Zahl raus. In unserem Fall ist das die

128+16+2+1=147

Somit ergibt der Binäre Wert 1001 0011 den Dezimalen Wert 147.
Wie immer kannst du dir dann Paar zahlen ausdenken und diese dann umrechnen um eine Routine zu bekommen.

 

Dezimal zu Hexadezimal

Als erstes erstellst du dir ne Zusatz Tabelle. In dieser Tabelle steht nur ganz einfach von 0 - 15 und von 0 - 9 und die a - f, wie hier im Beispiel gezeigt

Dec Hex
0 0
1 1
2 2
3 3
4 4
5 5
6 6
7 7
8 8
9 9
10 a
11 b
12 c
13 d
14 e
15 f

Das dient am Anfang der Leichtigkeit und dem gewöhnen an ein 16er Zahlensystem. Du wirst merken das du am Anfang noch mit dem a-f paar mal durcheinander kommst. Das legt sich aber schnell mit der Zeit. Die Rechnung ist aber fast genauso einfach wie Dezimal zu Binär, nur das du hier mehr Kopfrechnerei hast. Aber wie sagt man so schön? damit aktivierst du natürlich deine grauen Zellen.
Wir nehmen mal die Zahl 3048. Die wird wie immer geprüft, wie oft sie in die 256 passt... 11 mal und Rest ist 232 (11*256=2816 dann 3048 - 2816 = 232). 11 hat den Wert b, den notierst du dann inklusive Rest. Mit dem Rest von 232 rechnest du dann weiter, wie oft passt sie in die 16? 14 mal mit dem Rest von 8, 14 hat den Wert von e, den notierst du dann inklusive Rest. Mit dem Rest von 8 rechnest du dann weiter und guckst wie oft sie in die 1 passt, 8 mal und Rest 0, also schreiben wir auf 8. Zusammen ergibt es den Wert von be8

Somit hast du grad errechnet das der Dezimalwert von 3048, den Hex Wert von be8 ergibt.

 

Hexadezimal zu Dezimal

Das ist genau das selbe Prinzip wie bei den anderen varianten, aber wir wollen jetzt nicht faul werden und machen eine Zahl wieder ausführlich zusammen. Wir nehmen den Hex Wert fe und wandeln ihn in Dezimal um. Wie herum du jetzt anfängst ist eigentlich egal, ich fange immer links an, weil ich dann die großen Zahlen schonmal weg hab. Wir schnappen uns das f und rechnen f*16. F ist der Stellenwert von 15 und 15*16 ergibt 240. Die Zahl notieren wir uns und nehmen uns das e vor was den Stellenwert 14 hat. 14*1 ergibt 14 und jetzt brauchen wir nur noch die beiden Werte addieren 240+14 ergibt laut Adam Riese 254. Du siehst das umrechnen ist eigentlich recht simple, sobald einer einem zeigt wie es geht.

 

Dezimal zu Oktal

Nachdem wir schon die schweren Sachen errechnet haben ist Oktal ein Kinderspiel (ich halte mich mit Absicht kurz, da das ganze quasi ne Wiederholung ist). Wir müssen alles nur in dem 8er System berechnen, aber die Logik wie das funktioniert ändert sich hier auch nicht.
Ich zeige dir einmal kurz eine Zahl und du versuchst es dann mit anderen Zahlen nachzumachen. Ich kopiere nochmal die Tabelle um das umrechnen leichter zu machen und du nicht ständig hin und her scrollen musst.

Oktal 88 87 86 85 84 83 82 81 80
Oktal 16.777.216 2.097.152 262.144 32.768 4.096 512 64 8 1


Wir nehmen uns die Zahl 212 und wandeln diese um. Wie oft passt die 212 in die 64? 3 mal, wir merken uns die 3 und den Rest (64*3 = 192)(212-192=20) 20. Mit der 20 rechnen wir weiter, wie oft passt sie in die 8? 2 mal und Rest 4 (2*8=16) die 4 passt 4 mal in die eins, somit ergibt sich der Wert 324o .
War doch nicht so schwer oder?

Jetzt gehen wir mal einen Schritt weiter.

 

Hexadezimal zu Binär und zurück

Das ist im Gegensatz zu den anderen Umrechnungen ganz einfach. Nimm dir die Binärtabelle und erweitere sie um eine Zeile, wir nutzen aber nur die rechten 4 Spalten, da wir ein 16er System umwandeln, und der höchste wert 15 beträgt, brauchen wir 24 nicht mehr

Binär 28 27 26 25 24 23 22 21 20
Binär 256 128 64 32 16 8 4 2 1
Binär x x x x x        


Wir rechnen einen kleinen Wert aus, 6bh wird erst aufgeteilt, erst rechnen wir das b um, das ist der Dezimalwert von 11, den tragen wir wie gewohnt in die Tabelle ein, 11 passt einmal in die 8, einmal in die 2 und einmal in die 1 rein, somit ergibt sich der Wert 1011. Jetzt die 6, da passt die 4 und die 2 einmal rein. Das ergibt den wert von 110. Jetzt fügen wir die beiden Zahlen zusammen und erhalten einen Binärwert von 110 1011.

 

Zurück geht das genauso leicht. wenn du eine Binäre zahl von 110110110110 hast, trennst du sie am besten erst in 4er Blöcke auf damit du 1101  1011  0110 hast, dann schnappst du dir den ersten Block also die 1101 und wandelst den in Hex um (1*8+1*4+1*1) das ergibt dann 13, Hex ist das dann ein d, den merken wir uns und nehmen den zweiten Block um, 1011 (1*8+1*2+1*1) der Wert von 11 ergibt ein Hex b, den wieder merken und den letzten Block vornehmen 0110 ergibt (1*4+1*2) 6, damit haben wir einen Hex Wert von db6. 

 

Oktal zu Binär und zurück

Da man Hex zu Oktal nicht direkt umrechnet, sondern erst eine zwischen Rechnung über Binär macht, um zum Ziel zu kommen, ist das der letzte Punkt des Blogs.
Oktal ist ein 8er System, da brauchen wir von der Tabelle die wir zuletzt genutzt haben nur noch die letzten 3 Spalten

Binär 28 27 26 25 24 23 22 21 20
Binär 256 128 64 32 16 8 4 2 1
Binär x x x x x x      


Die Umrechnung Basiert auf der selben Logik wie die von Hex zu Binär, da die Rechnung nur mit 4, 2 und 1 gerechnet wird, werde ich mir die Rechenschritte sparen. Wir haben eine Binäre zahl von 110101100010111101, diese spalten wir wieder in Blöcke, aber diesmal in 3er Blöcke dadurch entsteht dieses Muster 110  101  100  010  111  101. Fangen wir mit den Blöcken an, 110 ergibt 6, 101 ergibt 5, 100 ergibt 4, 010 ergibt 2, 111 ergibt 7 und 101 ergibt wieder 5, jetzt packen wir alles zu einer zahl und heraus kommt 6 5 4 2 7 5 was das Ergebnis auch liefert nämlich 654275o 

 

Zurück ist es genauso leicht aber damit wir das dann auch besprochen haben hier ein Beispiel 364o in Binär. Wieder splitten wir die Zahlen und nehmen und rechnen sie in Binär 3 ergibt 011, 6 ergibt 110 und 4 ergibt 100. Somit haben wir drei Binär Blöcke 011  110  100, da wir die erste null streichen können ist der Binäre Wert 11110100 der Oktalen Zahl 364.

Also schwer ist was anderes oder?
 

Ich hoffe ich war nicht all zu anstrengend und konnte dir mit dem umrechnen der Zahlensysteme helfen, falls du ein Feedback geben möchtest, nutz bitte die Kommentar Funktion, ich freue mich über jedes Feedback und beantworte es auch schnellstmöglich.

Bis zum nächsten mal

euer Lewan



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